INDUKSI MATEMATIKA

Induksi matematika merupakan pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli.
Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah dengan menunjukkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau S(1) adalah benar), kemudian ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menyebabkan sifat itu benar untuk n = k + 1 (atau S (k + 1) benar).

1. Basis Step --> S (1 ) = benar
2. Inductive Step --> S ( k ) = S ( k + 1 ) = benar
3. Conclusion

Contoh :

A. 2 pangkat (3n) – 1 habis dibagi 7 untuk semua bilangan bulat n ≥ 1

Jawab : 1. Basis Step

s ( 1 ) = benar
s ( n ) = s ( 1 )
n = 1
maka 2 pangkat (3n) – 1 = 2 pangkat (3) – 1 = 7 habis dibagi 7

2. Inductive Step

s ( k ) = benar
s ( n ) = s ( k )
n = k
--> 2 pangkat (3n) – 1 = 2 pangkat (3k) – 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

s ( k + 1) = benar
s ( n ) = s ( k + 1 )
n = k + 1
-->2 pangkat (3n) – 1 = 2 pangkat [3( k + 1 )] – 1 = 2 pangkat [3k+3] – 1
=2 pangkat [3k] . 2 pangkat [3]– 1 = 8. 2 pangkat [3k] – 1 . . . . . . . . . . . . .(2)
=7 . 2 pangkat [3k] + 2 pangkat [3k] – 1 habis dibagi 7

Maka s ( k ) = s ( k + 1 ) benar


SOAL :

1. 4 pangkat [n] – 1 habis dibagi 3 untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 1

Jawab : 1. Basis Step

s ( 1 ) = benar
s ( n ) = s ( 1 )
n = 1
maka 4 pangkat [n] – 1 = 4 pangkat [1] – 1 = 3 habis dibagi 3

2. Inductive Step

s ( k ) = benar
s ( n ) = s ( k )
n = k
4 pangkat [n] – 1 = 4 pangkat [k] – 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

s ( k + 1) = benar
s ( n ) = s ( k + 1 )
n = k + 1
-->4 pangkat [n] – 1 = 4 pangkat [(k + 1 )] – 1 = 4 pangkat [k] . 4 – 1
= 4 . 4 pangkat [k] – 1. . . . . . . . . . . . .(2)
= 3 . 4 pangkat [k] + 4 pangkat [k] – 1 habis dibagi 3

Maka s ( k ) = s ( k + 1 ) benar


Referensi : http://id.wikipedia.org/wiki/Induksi_matematika